Изчисление на надлъжно извиване

Стабилно състояние

Твърдото тяло се казва, че е в стабилно равновесие, ако след настъпване на външно смущение върху него чрез изменение на неговото равновесие тази промяна се елиминира чрез просто прекратяване на действието на обезпокоителния елемент, така че тялото да се върне. в начално състояние.
В случай на прави пръти, необходими за компресия, ако техните напречни сечения имат сравнително малки размери в сравнение с дължината, тогава техните оси са склонни да се огъват и аксиалните сили, които ги натоварват, водят до огъване на прътите, с интензитет, пропорционален на размерите. Когато натоварванията достигнат определено ниво (наречено критично), деформациите при огъване се увеличават над границата на поносимост на пръта, която дава моментално, разбира се не поради надвишаване на границите на съпротивлението на неговия материал, а поради деформация.

Явление на надлъжно изкривяване

В случаи като този по-горе не става въпрос за отстъпване на искане, а за конкретно явление, наречено изкълчване, което има катастрофални последици и трябва да се избягва. Явлението е опасно, тъй като е необратимо и не се контролира напълно чрез изчислителни методи. Това, което може да се установи, е само нивото на критично натоварване (Fcr), имащо стойности, специфични за всяка конкретна лента; приема се, че при товари, по-ниски от това ниво, не се получава извиване на съответната лента.
От изчислителни нужди се определя и критичното напрежение на извиване (scr) на бара - нормалното напрежение, съответстващо на критичното му натоварване. Интересно е, че това напрежение може да бъде под границата на пропорционалност (или еластичност) на материала, случай, наречен еластично извиване на пръта, но може да бъде и над тази граница - за която извиването е еластично-пластично.

Проблемът с еластичното извиване на прави пръти е решен от гледна точка на изчисленията от средата на 18 век от швейцарския учен Леонард Ойлер. От друга страна, за еластопластичното изкривяване, въпреки че са установени различни теоретични решения, те имат предимно емпиричен характер, основавайки се изключително на експериментални наблюдения.
Основната идея при изчисляване на извивките е, че реалното напрежение (Fef) трябва да бъде на определено разстояние (безопасност) от критичното натоварване (Fcr) на анализираната лента. Това условие предполага установяването на минимално необходима стойност на съотношението между двете нива на натоварване под формата на a фактор за безопасност на катарамата (° С). Това количество може да бъде определено както по отношение на силите F, така и спрямо нормалните напрежения, както следва:

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В

Коефициентът на безопасност при изкривяване винаги е супер унитарен, колкото по-висока е частта, която е по-важна на мястото на употреба или в сглобката, от която е част. За барови тела, намиращи се в машинни конструкции, стойностите на коефициента се допускат да бъдат между 2,5 и 28, но обикновено той е ограничен до 3-4 единици.

Изчисляване на критичната сила в случай на еластично изкривяване

За разлика от обичайните изчисления на съпротивлението, изчисленията за стабилност започват от ефектите на феномена на изкълчване към неговите причини. Поради тази причина решенията отчитат в много аспекти на изследването на явлението конкретни случаи на неговото производство.
Относно еластичното изкривяване (за което скр е под границата на пропорционалност сстр от характерната крива на компресия на материала на пръта) анализът започва от появата на напрежението на огъване върху дългите и тънки компресирани пръти. Чрез написването на средното уравнение на влакната (също установено от Ойлер) за така деформираната шина се получава диференциално уравнение, специфично за начина, по който се поддържа бара. Решаването на уравнението въз основа на граничните условия води до намиране на критичната сила на изкълчване.

Корпусът на шарнирната лента в двата края

Деформираното състояние на лентата на фиг. 1.1 показва появата на огъващ момент във всяка форма на напречно сечение
Miz (x) = FГ - v (x).
Следователно уравнението на Ойлер може да бъде написано за това състояние на заряд, както следва:

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В ВВ

Ако всички термини са написани в левия крайник и обозначението е направено

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В

тогава уравнението става: В В В В В В В В

В В В

Решението на това диференциално уравнение трябва да бъде форма
v (x) = A без брадва + B с брадва,
и коефициентите могат да бъдат определени чрез налагане на условията на деформируемост на шината (гранични условия), дадени в този случай чрез предотвратяване на нейното вертикално движение в участъците в краищата:

Последното условие произтича от изискването да се избягва тривиалното решение на диференциалното уравнение, v (x) = 0, а константата k може да бъде всяко естествено число (различно от нула). Ако разгледаме първото възможно решение (k = 1), се получава, че деформираната лента има вид на синусоида, имайки уравнението:

Трябва да се отбележи, че в този израз максималната стойност (v max) на изместването остава неопределена, което поддържа възможността за катастрофално развитие на феномена на изкълчване.
От условието (a - L = p) се получава стойността на константата a, която може да бъде заменена по отношение (1.3), както следва:
В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В (В)

Въвеждането на I min (най-малкият от основните централни моменти на инерция на напречното сечение) във формулата води до най-малката от възможните критични сили на изкривяване на изследваната лента. Освен това е лесно да се предположи, че огъването на пръта (под аксиална сила) се извършва предимно около главната централна ос (на напречното сечение), по отношение на което моментът на инерция (т.е. съпротивление на огъване) има минимална стойност.
Отношение (1.4), т.нар Формулата на Ойлер за основния случай на изкривяване се използва за изчисляване на критичната сила за компресираната лента, както в фигура 1.1 по-горе.
Внимание: Критичната сила е нивото на изискване за компресия, до което се признава това не се случва загуба на еластична стабилност на пръта, т.е. трябва да се избягват натоварвания, които биха достигнали тази граница!

Разбира се, могат да се напишат нови решения на диференциалното уравнение (1.2), като се дадат k стойности, различни от 1; ако приемем k = 2, получаваме това (a - L = 2p) и достигаме втората критична сила на пръта:
В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В

Фиг. 1.2

Тази стойност съответства на ситуацията, при която дължината на пръта се намалява наполовина чрез допълнителна опора, в средата на дължината му, с подвижно съединение (Фиг. 1.2) се забелязва, че новият вариант на лагера е относително просто практическо решение за увеличаване (4 пъти) на критичната сила на изкълчване на шината, а също и на нейния безопасен работен обхват.
За следните решения на диференциалното уравнение (получено от условието a - L = kp) се прави извод, с подобна аргументация, че се въвеждат редица (k - 1) междинни подвижни опори, като се получава увеличението на (k) нарастването на ( лента. Трябва да се отбележи обаче, че всеки отказ на една или повече опори води до значително намаляване на критичната сила.!

Изчисляване на критичната сила за други лагерни случаи

За конзолната лента (Фиг. 1.3) отбелязва се, че надлъжната ос е извита, оставаща допирателна към позицията от момента преди заявката.
Усилието за огъване на секциите се изчислява по същия начин, както за шарнирната лента в краищата:
Miz (x) = FГ - v (x).

Следователно диференциалното уравнение на деформираното влакно също се записва във формата (1.2) и тук се повтарят всички направени по-рано разсъждения и единствената разлика се появява при записване на граничните условия (тъй като е избран изходът на координатата x, следва, че стрелката на лентата - Г®nx = 0 и съответно въртенето й - Г®nx = L) са равни на нула:

За второто условие се наблюдава, че нито константата A (което би означавало, че лентата изобщо не крива), нито параметърът a могат да бъдат нула, а от равенството с нула на тригонометричната функция се получава, че аргументът й трябва да бъде нечетно кратно на (p/2). Използвайки първата възможна стойност, т.е. a = p/2, достигаме:

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В (В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В

Тоест, формулата на критичната сила на извиване за шината в конзолата.
По аналогичен начин (с нехомогенни диференциални уравнения) е възможно да се решат още два случая на опора за компресираните пръти - вграждане в двата края (Фиг. 1.4), съответно вдлъбнатина в единия край и фуга в другия (Фиг. 1.5). Критичната сила се изчислява за всеки отделен случай с отношението, написано до съответната фигура.

Фиг. 1.4

В (1.7)

Фиг. 1.5

B (1,8)

Анализирайки отношенията на критичната сила за изследваните случаи на опора, се забелязва, че те се различават по размер от знаменателя; този размер се обозначава с (Lf2), обозначавайки „дължината на извиване“ на шината за всеки вариант на натоварване. Дължините на извиване за съответните ситуации се извличат от горните отношения, както следва:

за двойна съчленена лента
за лентата в конзолата В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В
за двойно вдлъбнатата лента В Л В = В/В
за шарнирна и вдлъбната лента Lf = 0,707 - L

По този начин се постига уникална форма на отношението на Ойлер за изчисляване на критичната сила в четирите вида опори:
В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В
НаблюдениеЕЈii:

Приложимост на формулата на Ойлер

Беше уточнено, че във всички горепосочени случаи изкривяването на прътите е от еластичен тип: загубата на стабилност има тенденция да настъпва в областта на еластичната деформируемост на материала на пръта, при която максималното напрежение в детайла не надвишава пропорционалната граница (пропорционалност). от характерната крива.
Ако въз основа на критичната сила, дадена от формула (1.9), се определя критично напрежение на изкълчване scr (като съотношение между критичната сила и площта на напречното сечение на пръта), като се вземе предвид дефиниционната връзка на радиуса на инерция В В В В В В В В В В В Резултатът е:
В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В, В
Тази връзка става много по-опростена, ако се направи обозначението

В В В (1.11)
adicДѓВ В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В. (1.12)
Число l, коефициентът на тънкост (или стройност) на анализираната лента, е съотношението между две дължини (тя няма размери!) И е основният индикатор за това как се изчислява конкретна пръчка при изкривяване.

Изчисленията за еластична стабилност са специфични за всяка лента, включително материала и неговите натоварвания.
Коефициентът l въвежда в изчисленията за извиване влиянията, оказвани върху стабилността на пръта от дължината му, носенето, но също така и от формата и размерите на напречното му сечение.
Две ленти, характеризиращи се с една и съща стойност на коефициента на тънкост и ще загубят своята еластична стабилност по същия начин.

Изхождайки от съотношението (1.12), можем да изградим крива на зависимост между критичното напрежение на извиване и коефициента l. По принцип графиката на тази функция представлява равностранна хипербола, но трябва да се отбележи, че само част от тази графика е релевантна за това изчисление.: тъй като съотношението (1.12) се отнася до еластичното извиване, се получава хиперболичната форма на графиката (Фиг. 1.6) е валиден само в областта под границата на пропорционалност на материала (scr l2 - лентата е неправилно оразмерена и трябва да бъде преосмислена.

Б. За оразмеряване на напречното сечение на пръта

Размерите на напречното сечение не са известни (въпреки че формата му е известна), така че коефициентът на стройност не може да бъде установен.
то приемете барът пламти в полето еластична (т.е. действителната стойност на l се намира вдясно от границата l0).
От съотношение (1.9) се получава минимално необходимата стойност на момента на инерцията на напречното сечение, от която се изчислява начална стойност на размера на сечението (лентата е с предварително оразмерено).
С тази стойност (закръглена с добавяне!) Се изчислява коефициентът на стройност, останал от лентата.
Ако шината е оразмерена правилно и проблемът е решен, тоест размерът, зададен по-горе, е последният.
Ако lef О »0 = 105, т.е. еластичното извиване е потвърдено и приетите размери са правилни.

б) За квадратното сечение без пролуки характерните размери са:

И за този случай е потвърдено еластичното извиване на колоната, така че размерът на секцията е приет правилно.

За да се изчисли разликата между разхода на материал, включен от двата варианта на секции, се забелязва, че дължината е еднаква и в двата случая, варирането на обема се дава от увеличаването на напречната площ в случая на пълната секция. тръбниДѓ. Следователно е достатъчно да се направи съотношението директно между вариацията на площта и площта на пълната секция:

От това следва, че използването на тръбната секция вместо пълната води до важна икономия на материал с над 50%.!