Когато математиката не е свързана с броене?

Един коментар на отговор, който публикувах, заяви, че „математиката не винаги е свързана с броенето“.

Мислех си, че ако има единица (сантиметри/милиграми/светлинни години и т.н.), тогава тя има нещо.

Изключение би било, ако опишете нещо в самата математика/arthimetec като концепцията за 2 + 2 = 4. То се дефинира без необходимост от единици, но само прави изявление за себе си.

Така че въпросът ми е: Когато математиката не е да броим нещо?

РЕДАКТИРАНЕ ×: За да бъде ясно, имаме дискретни данни, като например броя на хората в дадена стая, или непрекъснати данни, като например броя на мили до най-близката къри къща (измерване, в идеалния случай много малко в този случай ).

Намерението ми с този въпрос е, че и двамата "броят" - дискретните данни са обнадеждаващи и непрекъснатите данни все още се "броят", тъй като изреждате определен брой мили (и т.н.).

Така че не говоря за разликата между дискретни и непрекъснати данни. Питам повече дали/когато математиката не се отнася до нещо в (или а) „реалния“ свят. Като се замисля, мисля, че имам предвид "когато няма единици?"

E = mC ^ 2 има единици или тип единица:

E = енергия = ватове/калории/нещо

C = светлинна скорост (mph и т.н.)

Така че, за да стигнем до това чрез някаква вероятно трудна математика, имаше момент, в който формула нямаше някаква единица.?

7 отговора

Най-добрият пример за математика, който не включва числа, идва от философията. Предложната логика е математика. Как е по някакъв начин „наистина“ за числата?

Но съвременната математика се състои главно от неща, които не са числови, а са съставени от набор от правила.

Като краен случай, помислете за топологията. Най-простата форма на топология, която може да бъде описана, е теорията на графовете. Тази дисциплина до голяма степен се занимава със сложните връзки между нещата, които могат да бъдат и все още имат относително прости описания. Обичайното представяне на графика е набор от точки, които могат да се преместват произволно и линии, които свързват някои от тях помежду си.

Ранен основен резултат определя условията, които трябва да поставим на диаграма, за да ги нарисуваме в равнината. Геометрията се включва по абстрактен начин, но без измервания. Така че това е доста чист пример. Единственото число или измерване, имащо отношение към постановката на проблема, е "две" и то само като размерността на самолета.

Разбира се, графиките имат възли и можете да ги преброите. Описанията често съдържат цифри, а най-основните се отнасят до неща като „плъзнете три точки вляво и две вдясно и свържете всяка точка от едната страна с всички останали“. Но дори и тук аритметиката се използва само като част от езика, а не като главно действащо лице. По принцип теоретичните графични изчисления рядко са цифрови - те се отнасят до манипулирането на символи, които представляват възли и ръбове. (По този начин това е вид логика на предложенията, двете страни на общото поле на "символна и комбинаторна логика").

Важни резултати са например дали можем да намерим екземпляри на графика с компактно описание в друга мрежа с компактно несвързано описание. Приложенията се отнасят до неща като компютърни мрежи или поддръжка на телефонна линия. Продуктите не са числа, а последователности от операции като компютърна програма.

Числата обикновено се въвеждат само след решаване на проблем, за да се сравни ефективността на различните решения.

Като специалност по математика ми причиняваше много болка, когато семейството ми смяташе, че просто се уча как да се справя по-добре. добре .

По принцип чистата математика (т.е. изключването на приложната математика) може да се счита за три основни клона (въпреки че вероятно е опростяване):

Алгебра - как да използваме операции върху набори от елементи, за да комбинираме два елемента в друг елемент (потенциално различни, потенциално не)
Геометрия - отнася се до разстоянието между точките и нещата, които произтичат от него
Основи - логика и теория на множествата, които служат като основа за останалата част от математиката.

Разбира се, броенето се използва за примери във всички области, но в самата математика обикновено работи в по-абстрактна обстановка. Тоест, ние често не работим с числа, аритметика или директно броене, а по-скоро разглеждаме неща, които следват същите правила и мотиви за нещата в тази абстрактна рамка.

Например, да вземем набора от функции с определени технически ограничения (например измерими, интегрируеми или диференцирани. Всеки набор от „добре възпитани“ функции). Можете да дефинирате операции върху тях, за да ги комбинирате по различни начини (алгебра). Можете да дефинирате стойност, която задава разстояние на елементите от този набор (геометрия). Но идеята за „броене“ в този набор е много неестествена.

Геометрията е най-простата математика без числа. Използвайте само химикалка, линийка (не се облага с данъци, използвана за прави линии) и компас.

Мисля, че най-добрият начин е да сравним математиката с естествен език и еквивалентният въпрос е "Кога езикът не е за правопис?".

Преброяването е правопис, тъй като алгебрата е свързана с изготвянето на изречения като доказателство в есетата.

Можете да намерите отговора там.

Има много сложни начини за "преброяване", когато става въпрос за безкрайности, комбинаторика и така нататък, но повечето въпроси, които математиката решава, се въртят около краен набор от основни правила, повечето от които не включват "мярка", но по-скоро обобщение, но (надявам се) интуитивна концепция. Те се наричат аксиоми. Бихте ли казали, че състоянието „две линии никога не се срещат“ е форма на „мярка“? Това обаче е математическо твърдение и ние определяме такива линии като паралелни (или ортогонални в други контексти).

Искате да кажете, че нейното доказателство или условията това да се случи в декартовата геометрия/алгебра е някакво броене? Отговорът вероятно е не.

Всички примери, които сте дали, са само математика, приложена във физиката и в реалния свят, математиката се занимава само с реалния свят и в по-голямата си част не се интересува от единици.

Например идеята, че има безкрайно много примери за първична употреба (уникални числа), логика и техните свойства, за да добавите нов факт към базата от знания, която е изградена върху тези аксиоми.

Така че, за да отговоря на въпроса ви, много малко от математиката всъщност са свързани с „преброяване“.

Всеки алгоритъм, който може да бъде изчислен, може да бъде моделиран като броене. Това е много математика.

Общата идея за броене беше математически формализирана с помощта на множества, наречени редови номера. Повечето (ако не всички) математически обекти могат да бъдат моделирани като множества и ние знаем, че всеки добре подреден набор е изоморфен (еквивалентен) на пореден номер. (Тук добре подреденото означава „има поне един елемент“ - което означава, че има къде да започнете да броите.) Така че, ако искате да изпуснете броенето от поглед, трябва да се справите с комплекти, които не са добре подредени.

Досега изключихме математиката, която се изчислява и може да бъде моделирана като добре подреден набор.

Няма съмнение за други ограничения, но сега всичко идва на ум.

Ако принадлежите към училище, което настоява цялата математика да бъде компютъризирана, тогава мисля, че сте изключили всичко.

РЕДАКТИРАНЕ Има редица коментари по други отговори, които показват известно объркване относно естеството на преброяването. Едно особено объркване се отнася до добре известна математическа гипотеза, наречена континуум хипотеза.

Както споменах в оригиналния си отговор (по-горе), Кантор формализира концепцията за броене чрез дефиниране на редови номера. Хипотезата на континуума пита каква е мощността на континуума. Всички кардинали се определят като определени видове редови номера. Мощността на континуума се дава от мощността на добре подредения набор [0,1] (= множеството от реални числа между 0 и 1). Така че хипотезата за континуума е абсолютно свързана с броенето. Той се чуди колко поръчки трябва да преброя, за да отчета мощността на континуума.

Друго объркване изглежда е твърдението, че даден модел не казва нищо за същността на модела. Ясно е, че всичко, което може да бъде моделирано като броене, е математически изоморфно (еквивалентно) на броенето. Не може да се разбере.