Член 03 - том 23 - Nr. 4 - 2013

Определения и теореми

Национален институт за изследвания - развитие в информатиката, ICI, Букурещ

Резюме: В тази статия правим преглед на фактите, довели до кризата на математиката и след това до търсенето на техните основи, което осигурява основите на науката. Подчертава се, че дефиницията не е уникална и че тя е двигателният нерв на математиката, тя се извършва чрез супозитивна функция, която оставя на интелектуалното творение цялата свобода на движението.

Ключови думи:дефиниция, супозиционна функция, метаматематика, демонстрация.

Въведение„Почти няма двама математици, чиито идеи за основите на тяхната наука са напълно съгласни“, казва Аренд Хейтинг. (Математическа наземна криминалистика. Интуиционизъм, Beweistheorie, Springer, Berlin, 1934) разминаване между позициите във философията на математиката. И това твърдение е правилно. Парадоксално, но изследването на логическите основи на математиката, вместо да осигури техните основи, ги отслаби и превърна истините им в произволни конвенции. От друга страна, математиката съществува в целия си блясък, развива се и продължава да расте отвъд казаното за нея, без да обръща внимание на това, което Хилберт нарича „метаматематика“.

Всички усилия за обосноваване, било чрез логика, било чрез философия, на природата и основите на математиката са срещали непреодолими трудности и са създавали трудни, дори неразрешими проблеми. Примери за това са логико-математическите парадокси, проблемът за неразрешимостта (Unentscheidbarkeit), открит от Кърт Гьодел, проблемът за непротиворечивостта на една теория и т.н. Тези факти доведоха математиката до състояние на криза, което беше открито признато от специалистите.

Казано направо, ще кажем, че всъщност това не е криза на математиката, а криза на метаматематиката. Парадоксалните проблеми не възникват от развитието на тялото на математическите истини, а само от факта, че ние говорим за тези истини.

Някои автори вярват, че могат да открият и други „кризи“ в историята на математиката. Например A. Fraenkel и J. Bar-Hillel настояват за идеята, че ХХ век не е първият период, в който математиката претърпява „криза на основите“. За тях три големи кризи са разтърсвали математиката през цялата история.

Опитите за преодоляване на тази последна криза са много. Ще обърнем внимание само на факта, че трите споменати кризи са от различно естество: докато първите две имат в центъра си изненадващи математически открития, поразили духа на съвременниците с необичайния си характер, последната криза има особен характер, тъй като се състои от -опит за реконструкция на математиката на нов език, за да се осигурят нейните основи. С други думи, предишните кризи са преодолени чрез консолидиране на нови и „странни“ резултати в математиката; новата криза възникна от метаматематическо изследване на извънредните резултати, получени в нашата епоха, чрез опит за консолидиране на математиката отвън, чрез изкуствена реконструкция на техния език (който не е този, при който са получени резултатите). По този начин се вижда, че последната криза е причинена от метаматични съображения и следователно тези науки не трябва да се страхуват от тези повече или по-малко философски и твърде специфични лингвистични спекулации.

След това, което изглеждаше като истинска математическа катастрофа, причинена от появата на тази криза, водещите мислители започнаха да разглеждат по-отблизо случилото се. По този начин се повдигнаха някои гласове, които твърдяха, че математиката изобщо не се нуждае от „основа“. От тази гледна точка се събра особено авторитетен глас, този на Хилари Пътнам (Математика без основи, "The Journal of Philosophy", LXIV, 1967).

заключения: Нека сега обобщим резултатите, получени по-горе, които, разбира се, бихме могли само да скицираме в тясното пространство на тази статия.

Ние вярваме, че успяхме да дадем отговор, по-горе, на двата проблема, които Мостовски смята за основните проблеми на математиката. Нашият отговор показва, че логическият проблем - и чрез тази математика - на математическия обект не е философски проблем. Разбира се, ние не оспорваме законността на повдигането на подобни философски въпроси. Но да поставим проблемите на обекта и математическите разсъждения, от философска гледна точка, означава да създадем допълнителен проблем и теории като отговори на този проблем, които са само "епитети", интелектуален епифеномен далеч, малко или много, от феномена пряк и правилен математически интелектуалец. И това, струва ни се, е достатъчно обяснено от чисто логическия ни анализ. Математическият акт има два аспекта: творческия аспект, чрез който се въвежда нов „обект“, дефиницията на функция; демонстративният аспект, който установява еквивалентността на такива функции в тялото на теорията. Така двете изкуства се намират заедно: ars inveniendi и ars demonstrandi, като две страни на един и същ процес, който е логико-математическият процес.

Постарахме се да останем в изключителната сфера на логиката. Но естеството на обекта, както и математическите разсъждения, както беше обяснено по-горе, биха могли да хвърлят нова светлина върху причините, които са накарали Платон и Аристотел да разглеждат математическите обекти като специална ситуация. Всъщност за Платон математическият обект и особено геометричните фигури образуват междинна област между идеите и разумните неща. (Вж. Например Politeia, VII, 529.) По същия начин Аристотел предизвиква математическите единици за тяхната „автономност“; те биха се дължали само на абстракция, без да притежават автономно съществуване (De anima, I, 1 и III, 7; Metaphysica, K, 4, 1 061 b и E, 1, 1 026 a и др.). Ларвният свят на променливите, създаден „свободно“ от математика, не може да бъде отъждествяван нито със света на трансцендентните идеи на Платон, нито със света на иманентните същности на Аристотел.

БИБЛИОГРАФИЯ

Това произведение е лицензирано под Creative Commons Attribution 4.0 International License.